网壳结构的稳定性

               一、概  述

　　稳定性分析是网壳结构、尤其是单层网壳结构设计中的关键问题。国外自70年代以来，国内自80年代中期以来，网壳结构发展异常迅速，其稳定性问题遂成为研究热点领域之一。
　　结构的稳定性可以从其荷载-位移全过程曲线中得到完整的概念。传统的线性分析方法是把结构强度和稳定问题分开来考虑的。事实上，从非线性分析的角度来考察，结构的稳定性问题和强度问题是相互联系在一起的。结构的荷载-位移全过程曲线可以准确地把结构的强度、稳定性以至于刚度的整个变化历程表示得清清楚楚。当考察初始缺陷和荷载分布方式等因素对实际网壳结构稳定性能的影响时，也均可从全过程曲线的规律性变化中进行研究。
　　但以前，当利用计算机对复杂结构体系进行有效的非线性有限元分析尚未能充分实现的时候，要进行网壳结构的全过程分析是十分困难的。在较长一段时间内，人们不得不求助于连续化理论（"拟壳法"）将网壳转化为连续壳体结构，然后通过某些近似的非线性解析方法来求出壳体结构的稳定性承载力。例如文献1-3都提出了关于球面网壳稳定性的计算公式。这种"拟壳法"公式对计算某些特定形式网壳的稳定性承载力起过重要作用。但这种方法有较大的局限性：连续化壳体的稳定性理论本身并未完善，缺乏统一的理论模式，需要针对不同问题假定可能的失稳形态，并作出相应的近似假设；事实上仅对少数特定的壳体（例如球面壳）才能得出较实用的公式；此外，所讨论的壳体一般是等厚度的和各向同性的，无法反映实际网壳结构的不均匀构造和各向异性的特点。因此，在许多重要场合还必须依靠细致的模型试验来测定结构的稳定性承载力，并与可能的计算结果相互印证。
　　随着计算机的发展和广泛应用，非线形有限元分析方法逐渐成为结构稳定性分析中有利工具。近20年来，这一领域的研究工作一直相当活跃，尤其在屈曲后路径跟踪的计算技术方面做了许多有效的探索。由Ricks和Wempnor提出并由Crisfield和Ramn等人改进的各种弧长法是这方面的一个重要成果，它为结构的荷载-位移全过程路径跟踪提供了迄今仍然是最有效的计算方法卜[4-6]。但对于像网壳这样具有成千自由度的大型复杂结构位系，要实现其荷载-位移全过程分析，并不像文献中通常给出的一些简单算例那么容易。大量计算实践表明，由结构过渡到大型复杂结构的全过程分析，不只是量的变化；在后者情况下，由于计算累计误差的严重影响和减少CPU时间的迫切意义，仅仅依靠改进路径跟踪方法可能仍然无能为力；为了保证迭代的实际收敛性，本文在非线形有限元分析理论表达式的精确化、灵活的迭代策略、以及计算控制参数的合理选择等方面作了较细致探索。应该说，现在已完全有可能对各种复杂网壳结构进行完整的全过程分析，并且较精确地确定其稳定性极限承载力。
　　为便于实际设计应用，本文在上述理论方法的基础上，采用大规模参数分析的方法，进行网壳结构稳定性实用方法的研究。针对不同类型的网壳结构，在其基本参数（几何参数、构造参数、荷载参数等）的常用变化范围内，共计进行了2800余例实际尺寸网壳结构的全过程分析，对所得结果进行统计分析和归纳，考察网壳稳定性的变化规律，最后从理论高度进行概括，提出网壳稳定性验算的实用公式。这一研究的工作量很大，但受到广大设计部门的欢迎。
　　在参数分析中我们采用仅考虑几何非线性的全过程分析方法，因为：（l）如果同时考虑几何、物理两种非线性，所需计算时间尚需增加许多倍，对于如此大规模的参数分析来说，至少在目前是很困难的；（2）网壳结构的正常工作状态是在弹性范围内，材料非线性对结构的影响实际上是使结构承载力的安全储备稍有下降；对这种影响已有可能从定量上作出适当判断[7]。
　　限于篇幅，本文仅对所述内容作简要介绍，但给出的稳定性验算公式已可供实用参考；更详尽的讨论可参阅文献12。

　　　　　　　　　　　二、网壳结构全过程分析方法

　　针对像网壳结构这样具有大量自由度的复杂结构体系，为了保证其荷载-位移全过程分析得以顺利实现，本文在理论表达式的精确化、合理选用平衡路径跟踪的计算方法，灵活的迭代策略等方面进行了重点探索，并编制了相应的分析程序。
　　对于空间梁单元，如果按一般非线性有限元方法推导单元刚阵，为便于对势能方程中的应变函数进行乘方、积分等运算，常忽略位移的一些高阶项；对于像网亮这样非线性程度较高且轴力较大的大型结构体系，往往不能满足计算精度的要求，甚至还会影响到迭代运算的收敛。相比之下，如果按梁-柱理论直接推导单元的刚度矩阵，力和位移的关系可以用超越函数表示，对位移的高阶量没有任何省略。在这方面Oran的工作具有代表性[8]，被以后的研究者经常引用。本文采用类似方法推导出空间梁单元的切线刚度矩阵，但增加了适当的修正项，以考虑Oran矩阵中未曾考虑的两个主轴方向弯曲的相互耦连作用，从而得到更加精确的切
线刚度矩阵。
　　对于大转角问题，由于转动位移不适用矢量迭加原则，因而在增量计算中不能将每步算得的转动位移增量进行简单迭加。本文引用"结点方向矩阵"的概念来确定结点的空间方向，每步增量计算结束后进行旋转变换，求得新的结点方向矩阵。这一考虑大转角的精确理论对保证计算结果的正确性也是十分重要的。
　　关于平衡路径的跟踪，文献中先后提出过荷载增量法、位移增量法、各种功或能量增量法、各种弧长法等不同方法。应该说，各种方法都有其适用场合，但也都有不同程度的局限性。相比之下，各种弧长法、尤其是柱面弧长法具有较强的适应性。我们在反复计算、不断探索的过程中，对于不同方法的适应性、稳定性和计算效率作了较细致的比较，最后在所编制的程序中确定了以柱面弧长法为主综合运用各种方法的方针：对于较为简单的结构，采用位移增量法比较方便而有效；对于复杂的多自由度体系，由于很难推测其结点位移的变化趋势，因此在第一步计算中采用荷载增量法，从第二步开始采用变步长的柱面弧长法来自动跟踪结构的荷载-位移全过程。但对于某些复杂结构，在个别临界点附近，发现采用弧长法也难于使迭代收敛，而这时改用余能增量法却能得到满意结果。因此，将余能增量法作为弧长法的一个补充。程序将上述各种方法有机的结合起来，在计算中可以自动交替使用，因此能有效地应付各种复杂问题，尤其是在大型网壳结构的荷载-位移全过程分析中显示出较佳效能。
　　对于复杂结构来说，即使采用了合理的计算方法，如果一些计算参数不能很好选择并灵活处理，计算仍然可能难于收敛。我们总结计算实践中取得的经验，采取了两条措施：一是提出了变步长的增量计算方法，并给出了合理步长的计算公式；按照这一公式，每步的步长是根据前一步计算中所需的迭代次数来调整的，在结构接近线性变化时计算容易收敛，所需迭代次数少，下一步计算中步长就会自动增大；反之，在临界点附近收敛比较慢的区域，步长会自动变小，计算点迅速加密；用这种办法可保证高效地完成平衡路径的跟踪过程。二是采用能量准则判断迭代是否收敛，并且对收敛值给予严格控制，以减小计算累积误差，防止在临界点附近迭代发散。
　　在路径跟踪过程中，利用切线刚度矩阵的正定性来判断结构的稳定性能，并制定了判别临界点性质（是极限点还是分枝点）的准则。对极限点不需采取措施即可进入屈曲后平衡路径。对于分枝点，则采用"扰动荷载法"，即在分枝点附近的计算中引入相应于该点失稳形态的扰动荷载，使计算进入正确的分枝后路径。其实，根据我们的经验，对于具有大量自由度的大型结构，计算的累积误差较大，它也能起到扰动荷载的作用；因此也可采用在分枝点处适当放宽收敛控制值的办法，以引起足够大的累积误差，使复杂结构的计算自动进入正确的平衡路径。
　　实际网壳结构不可避免地具有各种初始缺陷。从实用角度考虑，关于与杆件特性有关的一些缺陷，如杆件的初弯曲、初始内应力、杆件对结点初始偏心等，在按规范规定选择杆件截面时实际上已作了适当考虑。这样设计出来的网壳结构，杆件稳定性与整个网壳稳定性的耦合作用不是一个主要因素。对网壳稳定性来说，曲面形状的安装偏差，即各结点位置的偏差就成为起主要影响作用的初始缺陷因素。本文采用"一致缺陷模态法"来研究这一因素的影响，即认为初始缺陷按最低阶屈曲模态分布时可能具有最不利影响。文献[9]对这一方法的合理性和有效性进行过仔细论证。显而易见，当采用这一方法进行分析时，即使遇到分枝点的情形，均能自动完成正确的平衡路径跟踪。事实上，初始缺陷通常使分枝问题转化为极限问题。
　　大量计算实践表明，按上述理论和方法编成的程序，对实际网壳结构的全过程分析是十分有效的。

　　　　　　　　　三、网壳结构稳定性能的参数分析方案

　　本文利用所编的荷载－位移全过程分析程序对单层球面网壳、圆柱面网壳、椭圆抛物面网壳（双曲扁网壳）、双曲抛物面网壳（鞍形网壳）进行了大规模的参数分析。所分析的网壳均属于常用的形式，具有实际形状和尺寸，其杆件截面也均按实际设计选定。
　　球面网壳有各种网格划分形式，本文以最常用的K8型网壳作为重点研究对象，然后对K6型、短程线型、肋环斜杆型等网壳进行一定数量的对比分析，以此来取得关于单层球面网壳稳定性能的完整概念。对K8型网壳考虑了四种跨度（L＝40，50，60，70m）和四种矢跨比（f/L＝1／5，1／6，1／7，1／8）共16种几何尺寸，每一种又各采用四套不同大小的杆件截面；所以一共分析了64个网壳。对每个网壳分别按无缺陷的理想情形和具有初始缺陷（最大安装偏差L／1000）的情形进行分析，对部分网壳还考虑了由小到大不同大小初始缺陷的影响。荷载方面考虑了满跨均布荷载 g和半跨均布荷载p的不同组合：p／g＝0，l／4，1／2。对部分网壳共进行了近500例荷载-位移全过程分析；再加上对K6型、短程线型、肋环斜杆型等网壳进行的计算共计完成了840例球面网壳全过程分析。
　　圆柱面网壳可能有三种支承方式：四边支承、两纵边支承和两端支承。它们各有特点，应分别进行研究。网格形式一律采用最常见的由纵向杆和两个方向斜杆组成的三向网格。网壳长度与波宽之比L／b是影响柱面网壳性能的主要因素；为节省计算工作量，参数分析方案中只设定一种网壳宽度b＝15m，但具有不同长度；L＝15，21，27，30，33，39，45m。考虑了不同的矢宽比f/b和不同的杆件截面大小。对每个网壳考虑了不同的荷载分布和初始缺陷的影响。两端支承的网壳还可能按一定间距设置中间加劲肋；在分析方案中对设与不设加劲肋的情形作了对比。共计对四边支承、两纵边支承和两端支承的柱面网分别进行了350例、54例和816例（合起来1220例）荷载-位移全过程分析。
　　椭圆抛物面网壳一般用于方形或矩形平面，其曲面系以一条抛物线为母线，沿着与之正交但曲率方向相同的另一条抛物线导线平行移动而成；实际工程应用中常用圆弧来代替抛物线作为曲面的母线和导线。习惯上把这类网壳称为双曲扁网壳。本文在参数分析中考虑了三种平面尺寸（30 x 30m，40 x 40m，30 x 45m）、三种矢跨比（f/L＝l／6，1／7，l／8）和两种网格形式（三向网格和正交单斜网格），采用四套不同的杆件截面；对每个网壳考虑了不同荷载分布和初始缺陷的影响。对部分网壳还对两种可能的支承条件（四边简支和固定铰支）作了对比。共计为双曲扁网壳进行了783例全过程分析。
　　双曲抛物面网壳的全过程性能有其特殊性。本文只对方形平面（对角线长60m）的双曲抛物面网壳进行了不同网格形式、不同矢跨比和不同边梁刚度的对比分析，共计进行了14例荷载-位移全过程分析。
　　按上述参数分析方案，共计进行了2800余例各种形式单层网壳结构的全过程分析。完成每例分析以后，为每个结点都可画出一条荷载-位移曲线；我们只取一条曲线、即迭代结束时位移最大的那个结点的荷载-位移曲线作为代表。网壳的全过程曲线是异常复杂的；从实用角度，只需取开始一段曲线（即越过每一个临界点以后再保留一段必要的屈曲后路径）进行考察；过此以后结构位移迅速增大，曲线的形状变化多端，在理论上饶有兴趣，但实用上已无更大意义。取第一个临界点处的荷载值作为结构的极限荷载，相应的结构屈曲模态也均可求得。
　　限于篇幅，本文无法将这些曲线、极限荷载和屈曲模态图-一列出。但可指出，由于取得的成果量较大，它们显示出非常好的规律性。下面按不同网壳形式简要介绍其稳定性能的基本特性，并通过对所得到的大量数据进行回归分析的方法提出网壳稳定性承载力的实用计算公式。

　　　　　　　　　四、单层球面网壳的稳定性

　　球面网壳的屈曲多数情况下表现为壳面上一个或若干个局部凹陷的形式，这种凹陷从某一结点的跳跃屈曲开始，然后随着邻近结点的逐一失稳，凹陷的范围逐渐扩大，而全过程曲线相应地表现为多次被动和来回摆动的复杂形式。不同网格形式的球面网壳，其出现凹陷的位置也不同。K型网壳的失稳均从主肋上某一结点开始，肋环斜杆型网壳一般从第三环（自支承环算起）上某一结点开始，短程线型网壳则从三角形球面上某一结点开始，逐渐扩大形成凹陷。
　　各种形式的球面网壳均表现出极佳空间工作性能，因而荷载的不对称分布对它的极限荷载几乎没有影响。为了进行对比，曾把每个网壳在三种不同荷载比例下的全过程曲线画在一起，并均以总荷载g＋p作为纵座标；令人惊讶的是，三条曲线几乎完全重合。因而实用上可以不考虑荷载不对称分布这一因素对球面网壳稳定性承载力可能产生的影响。
　　与此同时，各种球面网壳均表现出对初始几何缺陷的高度敏感性。作为例子，图1给出某K8型球面网壳（L= 60m，f/L=1/8）当考虑九种不同大小的初始缺陷（ r＝ 0，3，6， 10，20，30，40，50，60cm）时绘得的全过程曲线，九条曲线画在一起，可资对比；网壳极限荷载随缺陷值变化的情形则如图2所示。可以看到，在开始阶段，网壳极限荷载随缺陷增大迅速下降，至缺陷为20cm（L／300）时达最小值，此时极限荷载为完整网壳的50%左右。缺陷再进一步增大时，极限荷载反而呈增大趋势，不符合人们的正常概念。事实上，当初始缺陷超过一定限度后，网壳已严重偏离原来的球面形状，受力也偏离薄膜内力主导状态，变成了一种"畸形结构"。从相应的全过程曲线可以看到，这种具有过大初始缺陷的网壳刚度很小，位移发展很快，尽管荷载可能保持上升趋势，但在工程上已没有意义。

 　　图３　四边支承柱面网壳极限荷载随L/b变化规律

   图4  网壳承载力随p/g变化规律